De la narration de recherche à l’argumentation ...

vers la démonstration ...
 août 2006
par  Jean-Claude ROLLAND
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es défis mathématiques sont proposés aux élèves dans le cadre d’actions inter cycles de la grande section à la 5ème de collège. Au-delà du débat, de l’usage de l’argumentation pour convaincre et de l’utilisation de procédures de validations des solutions proposées par les élèves, dans quelle mesure les défis permettent-ils la construction de savoirs mathématiques et l’entrée en réflexion sur le statut de la preuve ?

Les situations proposées aux élèves :

Les situations proposées entre autres lors des défis mathématiques sont-elles de véritables « situations problèmes » au sens où l’entend en particulier G. de Vecchi ?

Avant de tenter de répondre à cette question, nous noterons que ces défis ont d’ores et déjà plusieurs qualités :
- leur forme : ludique, motivante, ils permettent aux élèves d’aborder les mathématiques sous un aspect inhabituel, ce qui permet un regain d’intérêt
- le détour pédagogique : l’intention est bel et bien de faire passer des notions et des concepts mathématiques en permettant aux élèves, à tous les élèves de s’essayer grâce en particulier aux différentes modalités de travail (individuellement, en binôme, en groupe, en groupe classe, ...), grâce au rôle de l’enseignant passant de tuteur à médiateur,
- le statut de l’erreur : se tromper n’est plus une faute, il s’agit là encore d’essayer, de tenter, de confronter des démarches et des procédures ...
Avec l’aide de G. de Vecchi, risquons donc de définir une « situation problème ».

Ecartons d’abord le fait que ces défis soient de simples exercices. En effet s’exercer, s’entraîner n’est possible que dans un champ connu et sûr pour l’élève. Les procédures utilisées sont connues, on applique une règle, on exécute mécaniquement des processus ... Les défis proposés ne peuvent en l’état être résolus en appliquant une méthode définie à l’avance mais sont-ils pour autant des situations problèmes ?

Ne sont-ils pas alors que de simples problèmes ? Que sont ces problèmes ?
- un problème « classique » ? Proposés aux élèves ces problèmes ont pour objectifs un réinvestissement de procédures connues, un entraînement à reconnaître certaines situations pour lesquels on connaît un schéma de résolution, c’est un exercice.
- un problème original, amusant ? Les enseignants et les auteurs de manuel rivalisent alors d’inventivité. L’habillage cache un simple exercice.
- des jeux, des devinettes ? Sous un aspect ludique ne se cacherait alors qu’un exercice formel ne permettant d’aborder que des savoirs très ponctuels.
- un problème complexe ? Lorsqu’ils sont proposés en classe, ils sont souvent accompagnés par des questions posées, proposées ou non par les élèves, questions qui empêchent les cheminements des élèves en imposant une démarche de résolution unique. L’enseignant est alors un tuteur guidant les élèves vers une procédure.
- un problème nécessitant une expérimentation ? Appelés souvent « découvertes » dans certains manuels ou lors de séquences proposés par l’enseignant, ils permettent une ou plusieurs phases manipulatoires aux élèves. Ces manipulations ne sont pas des expérimentations conçues par les élèves, les protocoles sont souvent définis à l’avance par l’enseignant. Et si un groupe d’élèves propose un protocole, il est d’abord validé par l’enseignant avant d’être réellement expérimenté, les investigations sont vite réduites.
- un problème ouvert (tel qu’on l’entend à l’école élémentaire) ? Ils permettent la confrontation des procédures des élèves, les solutions y sont diverses ... Le problème se situe souvent dans un domaine où les élèves sont familiarisés.. Ainsi, peuvent-ils prendre facilement "possession" de la situation et s’essayer, proposer des solutions, des procédures, ...

Et une situation problème ?
G. De Vecchi propose une définition qui se dessine déjà en creux ici : ce qui va différencier une situation problème des autres problèmes c’est la ou les ruptures qu’elle provoque et qui vont à l’encontre des conceptions des élèves. C’est une situation qu’on n’a pas appris à résoudre qui oblige à se construire un nouveau savoir. Elle devra
- avoir du sens
- être lié à un obstacle repéré et défini dont les élèves prennent conscience à travers l’émergence de représentations mentales
- faire naître un questionnement
- créer des ruptures amenant à déconstruire les modèles inadaptés
- correspondre à une situation complexe ouvrant sur des réponses et des stratégies diverses
- déboucher sur un savoir général, une règle, une loi, ...
- faire l’objet de moments d’analyses de ce qui a été fait

Les défis mathématiques proposés depuis quelques années, que ce soit dans des écoles, des REP, ou sur la circonscription sont-ils tous au regard de cette définition des situations problèmes. Certes non ! Ils ont cependant une valeur qui ne saurait être niée, ils sont surtout la mise en œuvre d’un état d’esprit, d’une conception des élèves mis dans des situations comparables à celle de chercheurs, faisant de la classe « une petite communauté mathématique ».

Chercher ...

« Il est impossible de chercher ce qu’on connaît tout comme ce qu’on ne connaît pas. Ce qu’on connaît, on ne le cherche pas, et comment savoir quelle chose chercher quand on ne la connaît pas ? »

Ou encore, pourquoi chercher ce que je sais, pourquoi chercher ce que le maître sait, ...

Ce paradoxe nous amène à questionner les situations problèmes et à s’assurer que le questionnement vrai devra découler d’un déséquilibre qui permettra d’entrer dans l’action. L’élève va chercher ce qu’il croit savoir, se confronter à des résultats expérimentaux ou non qui remettent en cause ses conceptions ... Et c’est ce déséquilibre entre les savoirs initiaux, les conceptions, la situation, les hypothèses qui va permettre par l’analyse des tâtonnements de se reconstruire un équilibre par un nouveau savoir.

Les difficultés pour l’enseignant de mettre les élèves en recherche et celles de l’élève pour entrer en recherche sont donc multiples :
- faire émerger les conceptions, les représentations mentales ... moments de libre parole, recherches individuelles, pour s’approprier la tâche, mobiliser ses connaissances, ses savoir-faire (compétences), ses savoir y faire (compétences de procédure), ...
- lors des émissions d’hypothèses, au-delà des compétences mathématiques ou disciplinaires, les compétences langagières de l’élèves entrent en jeu : narration, évocation, les verbes du doute, les connecteurs (si, alors, donc, or, mais, ...)
- lors de la validation ou l’invalidation d’hypothèses, il faudra à l’élève tenir compte des données, différencier hypothèse et solution, passer du doute à la vérification et donc justifier, argumenter, convaincre ... et là encore les compétences langagières de cet élève sont essentielles : les peut-être, l’utilisation du verbe pouvoir, l’usage du conditionnel, ...
- Lors de vérification, il faudra interpréter des données contradictoires, passer de l’hypothèse à l’argumentaire pour tenter de valider, justifier, convaincre ...
- L’hypothèse ainsi proposée ne sera une solution que si elle est validée. Mais par qui ? Comment ? S’agira-t-il d’une vérité provisoire, ce qui est le cas pour les sciences expérimentales ou alors d’une preuve démontrée ?

Ecrire pour analyser ce qui a été pensé et fait : les narrations de recherche.

Les sciences expérimentales utilisent un raisonnement élaborant des hypothèses, produisant des représentations et développant des recherches vérifiant une vérité provisoire en l’état des connaissances, on parle alors de théories. La preuve en mathématiques n’existe que par la démonstration, raisonnant par déductions. On parle alors de théorèmes.
A l’école élémentaire, ces raisonnements mathématiques ne sont pas enseignés, ils le seront au collège, d’abord en 6ème et 5ème en réutilisant simplement un théorème du cours puis plus tard en utilisant des raisonnements déductifs, par l’absurde ou par récurrence ... Cela implique, on le conçoit, une grammaire du langage particulière par la forme des propositions, l’utilisation d’axiomes et de règles de déductions constituant un système formel dans lequel on ne pourra démontrer à la fois une proposition et son contraire.

Comment alors à l’école élémentaire et au collège préparer ces élèves qui tâtonnent, essaient, expérimentent à mettre en forme dans une première étape puis à formaliser ?

Interrogeons d’abord nos pratiques. Quels sont les écrits scolaires, ceux que nous demandons à nos élèves en mathématiques ? Ce sera des suites de chiffres en techniques opératoires, des suites de nombres en numération, quelques signes mathématiques (> ; < ; = ; + ; - ; / ; ...) ; des figures géométriques, des phrases courtes de solution dans les problèmes, ...

Les brouillons sont rarement analysés ou étudiés par l’élève lui-même, le groupe ou le maître. Ils ont le statut d’écrits pour soi et un regard sur ces écrits serait-il une ingérence ? Les bilans des recherches utilisent des écrits pour communiquer, une affiche, un exposé du travail mené qui permettent les confrontations, l’argumentation, ... Une phase délicate à mener pour éviter que ce moment ne se transforme en correction collective. Autre écrit enfin, l’écrit de synthèse, la règle déduite des recherches qui prendra un statut de loi pour la classe.

Les difficultés pour l’élève ou le groupe d’élèves à passer du brouillon par essence peu structuré, sans chronologie, à un écrit de synthèse des recherches servant à communiquer les essais, les hypothèses, les démarches, les procédures et les propositions de solution à la classe et à l’enseignant sont multiples :
- la mémoire
- la mise en ordre
- l’articulation
- la formulation des propositions
- l’argumentation
- le vocabulaire et la syntaxe

Les narrations de recherche peuvent apporter ici une contribution non négligeable à l’accompagnement vers une formalisation des hypothèses et des déductions du raisonnement des élèves. Ces narrations de recherche sont une représentation écrite voire graphique d’un raisonnement. L’élève en cherchant différentes solutions en faisant des hypothèses, organisera sa pensée, construira sa démarche en narrant ce qu’il pense, comment il pense...

Pour permettre ces narrations, il est indispensable qu’un nouveau contrat soit défini avec l’élève en particulier au collège : l’enseignant portant son évaluation non plus seulement sur la solution au problème posé mais surtout sur cette narration, l’élève « raconte » le mieux possible les étapes de sa recherche, décrit ses erreurs, comment viennent ses idées et dépasse le simple constat du type « j’ai calculé » , « j’ai fait » ... Les phrases sont correctes, elles communiquent la pensée de l’élève et ainsi permettent à l’enseignant de connaître les procédures, le savoir-y-faire des élèves.

De la narration à la synthèse collective : le débat.

Des recherches faites individuellement, des narrations de recherche, des essais, tâtonnements à la formulation d’hypothèses que l’on vérifie les groupes d’élèves devront extraire hypothèses rejetées, les argumentaires et tenter de valider, tenter de convaincre ...

Le débat réglé est-il suffisant pour valider ou invalider une hypothèse, une solution proposée ? Certes non, la règle en mathématiques, la loi ne saurait être celle du plus grand nombre, celle de l’élève au charisme certain, celle du plus fort ou du plus convaincant maniant argumentaires et rhétorique.

Le débat en mathématiques ne peut être le débat philosophique. En mathématiques, un contre-exemple suffit à invalider une proposition, les exemples aussi nombreux soient-ils ne suffisent pas à prouver une règle, les constats sur les figures géométriques ne permettent pas de prouver quoi que ce soit, ...

Pour illustrer ce que peut être le débat, une situation proposée (idée reprise d’H. Mainie, professeur d’Iufm) en formation lors d’un stage REP dans un collège d’Epinay :

« Un randonneur laissant son véhicule sur un parking au pied d’une montagne, part à 8 heures et s’engage sur un sentier de grande randonnée qu’il suivra sans s’en écarter.
Il fait des pauses quand il le désire que ce soit pour manger, se reposer, admirer le paysage ou encore photographier panoramas, marmottes et chamois. A 18 heures, il arrive enfin au refuge situé à 1800 m d’altitude. Il profite d’une nuit de repos bien méritée.
Le lendemain, à 8 heures, les muscles encore endoloris, il repart sur le sentier. Comme la veille, il flâne, s’arrête pour manger ... Il arrive sur le parking sur lequel il a laissé son véhicule à 16 heures.
Est-il possible qu’il ait été lors du trajet de retour au même endroit ET à la même heure que la veille ? »

Il est demandé aux stagiaires de répondre par oui ou non, de manière individuelle, puis de tenter de convaincre ceux qui penseraient autrement qu’eux, puis la réponse étant donnée de le démontrer dans un cas particulier puis enfin de manière générale.

Les réponses :
Quelques collègues affirment : « oui, c’est possible », d’autres hésitent, disent « non », d’autres enfin affirment « non, c’est possible au même endroit mais pas à la même heure. »
Des questions pleuvent : altitude du parking, fatigue du randonneur, ... des informations semblent manquer. Les argumentaires volent, certains tentent de convaincre ... d’autres s’essaient à des démonstrations mathématiques algébriques en utilisant les données numériques, d’autres encore affirment sans prouver que ce doit être au milieu du trajet, vers midi ...
Il est ensuite affirmé par le formateur qu’il est possible que le randonneur ait été lors du trajet de retour au même endroit ET à la même heure que la veille, et il est demandé de le démontrer.
Arguments, exemples et démonstrations :

- Une enseignante énonce que si le randonneur se fixe un rendez-vous pour le lendemain, en marquant un arbre et en notant l’heure par exemple ; le lendemain, il fera tout pour être au même endroit, à la même heure quitte à accélérer, ralentir ou même attendre l’heure devant l’arbre. Ce qui est possible, dit-elle, de vérifier concrètement par l’expérience.
- une enseignante de mathématiques en fixant les vitesses de déplacement démontre que en effet cela est possible, mais ne démontre pas le cas général.
- une collègue : si deux randonneurs parcourent le trajet en partant comme le dit l’énoncé à 8 h, l’un en descendant, l’autre en montant, ils se croiseront nécessairement entre 8 h et 16 heures.
- une autre propose de représenter graphiquement les fonctions représentant les trajets : s’appuyant sur le fait que ces représentations sont des fonctions (en effet pour un temps t donné, il ne peut y avoir qu’une et une seule altitude correspondante), elle montre que par translation (même heure, jour suivant) les courbes se croisent en au moins un point (même heure, même endroit) :


Cela pose le problème de la validation d’une proposition.
Une vraie conviction est nécessaire avant la formulation.
La validation par l’exemple, l’exemple générique peut suffire pour convaincre et valider une proposition.
Mais seule la démonstration qui place la situation dans un cadre plus large, apporte une preuve mathématique.

Ce qui valide une proposition à l’école élémentaire c’est l’expérience, l’exemple générique. On convaincra en argumentant par l’exemple. Au collège, on attendra des élèves des démonstrations.

Ce formalisme nécessaire peut cependant poser des difficultés : en effet formaliser évacue le sens et peut empêcher de construire les procédures et les savoir-faire nécessaires pour résoudre une situation précise et amener à des aberrations telles que celle rapportée par S. Baruk : quand un élève, tentant de résoudre une équation, calcule un discriminant et écrit « si 7 est positif, il y a deux racines, si 7=0 il y a une racine double et si 7 est négatif, il n’y a pas de racine ».
Amusant ? Ou inquiétant ?


Voir aussi sur éppéé :
- Les défis de Mathématiques (1 à 3)
- Les défis de Mathématiques (3 à 6)
- 4 défis
- Défi Mathématiques 2005.
- Jeux et défis mathématiques
- Défi Mathématique Robespierre
- Défi Mathématique 2005-2006 sur le REP Robespierre

- Les situations problèmes
- Mathématiques



Bibliographie :

- DE VECCHI Gérard, CARMONA-MAGNALDI Nicole. Faire vivre de véritables situations-problèmes. Paris : Hachette éducation, 2002
- BARUK Stella. Si 7 = 0. Paris : Odile Jacob, 2004
- SAUTER Mireille. Les narrations de recherches. Repères IREM , Avril 2000, N°39.
- ERMEL, Vrai ? Faux ? ... On en débat ! De l’argumentation vers la preuve en mathématiques au cycle 3. Paris : INRP, 1999